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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于風險價值的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

此示例說明如何使用三種方法估計風險價值 (VaR) 并執(zhí)行 VaR 回測分析。這三種方法是：

(資料圖)

正態(tài)分布

歷史模擬

指數(shù)加權(quán)移動平均線 (EWMA)

風險價值是一種量化與投資組合相關(guān)的風險水平的統(tǒng)計方法。VaR 衡量指定時間范圍內(nèi)和給定置信水平的最大損失量。

回測衡量 VaR 計算的準確性。使用 VaR 方法，計算損失預測，然后與第二天結(jié)束時的實際損失進行比較。預測損失和實際損失之間的差異程度表明 VaR 模型是低估還是高估了風險。因此，回測回顧數(shù)據(jù)并有助于評估 VaR 模型。

本示例中使用的三種估計方法在 95% 和 99% 的置信水平下估計 VaR。

加載數(shù)據(jù)并定義測試窗口

加載數(shù)據(jù)。本例中使用的數(shù)據(jù)來自標準普爾指數(shù)從 1993 年到 2003 年的時間序列收益率。

將估計窗口定義為 250 個交易日。測試窗口從 1996 年的第一天開始，一直持續(xù)到樣本結(jié)束。

對于 95% 和 99% 的 VaR 置信水平。

這些值意味著分別有至多 5% 和 1% 的概率發(fā)生的損失將大于最大閾值（即大于 VaR）。

使用正態(tài)分布方法計算 VaR

對于正態(tài)分布法，假設(shè)投資組合的損益呈正態(tài)分布。使用此假設(shè)，通過將每個置信水平的_z_分數(shù)乘以收益率的標準差來計算 VaR ?。由于 VaR 回溯測試對數(shù)據(jù)進行追溯，因此“今天”的 VaR 是根據(jù)過去_N_ ?= 250 天（但不包括“今天”）的收益率值計算得出的?。

正態(tài)分布方法也稱為參數(shù) VaR，因為它的估計涉及計算收益率標準差的參數(shù)。正態(tài)分布方法的優(yōu)點是簡單。然而，正態(tài)分布方法的弱點是假設(shè)收益率是正態(tài)分布的。正態(tài)分布方法的另一個名稱是方差-協(xié)方差方法。

使用歷史模擬方法計算 VaR

與正態(tài)分布方法不同，歷史模擬 (HS) 是一種非參數(shù)方法。它不假設(shè)資產(chǎn)收益的特定分布。歷史模擬通過假設(shè)過去的損益可以作為下一個收益期的損益分配來預測風險。“今天”的 VaR 計算為“今天”?之前?最后_N 次_收益率的?_第 p_個分位數(shù)?。

從上圖可以看出，歷史模擬曲線具有分段不變的輪廓。其原因是，在極端事件發(fā)生之前，量值在幾天內(nèi)不會發(fā)生變化。因此，歷史模擬方法對波動率的變化反應(yīng)緩慢。

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Python蒙特卡羅（Monte Carlo）模擬計算投資組合的風險價值（VaR）

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使用指數(shù)加權(quán)移動平均法 (EWMA) 計算 VaR

前兩個 VaR 方法假設(shè)所有過去的收益率都具有相同的權(quán)重。指數(shù)加權(quán)移動平均 (EWMA) 方法分配不相等的權(quán)重，尤其是指數(shù)遞減的權(quán)重。最近的收益率具有更高的權(quán)重，因為它們對“今天”收益率的影響比過去更遠的收益率更大。大小估計窗口上的 EWMA 方差公式?

是：

是歸一化常數(shù)：

為方便起見，我們假設(shè)一個無限大的估計窗口來近似方差：

實踐中經(jīng)常使用的衰減因子的值為0.94。這是本示例中使用的值。

啟動 EWMA 設(shè)置標準偏差。

在測試窗口中使用 EWMA 來估計 VaR。

在上圖中，EWMA 對大（或小）收益率時期的反應(yīng)非常迅速。

VaR回測

在本示例的第一部分中，使用三種不同的方法和兩種不同的 VaR 置信水平在測試窗口上估計了 VaR。VaR 回測的目標是評估 VaR 模型的性能。95% 置信度的 VaR 估計值僅在大約 5% 的時間內(nèi)被違反。VaR 失敗的集群表明缺乏跨時間的獨立性，因為 VaR 模型對不斷變化的市場條件反應(yīng)緩慢。

VaR 回測分析中常見的第一步是將收益率和 VaR 估計值繪制在一起。在 95% 的置信水平上繪制所有三種方法，并將它們與收益率進行比較。

為了突出不同的方法如何對不斷變化的市場條件做出不同的反應(yīng)，您可以放大收益率值發(fā)生巨大和突然變化的時間序列。例如，大約在 1998 年 8 月：

當收益為負 VaR 時，就會發(fā)生 VaR 失敗。仔細觀察 8 月 27 日至 8 月 31 日，會發(fā)現(xiàn)收益率顯著下降。從 8 月 27 日起，EWMA 更密切、更準確地跟蹤收益率趨勢。因此，與正態(tài)分布方法（7次失敗，藍色）或歷史模擬方法（8次失敗，紅色）相比，EWMA 的 VaR 失敗（2)次失敗，紫色）較少。

除了可視化工具，您還可以使用統(tǒng)計測試進行 VaR 回測。在此示例中，首先比較正態(tài)分布方法在 95% 和 99% VaR 水平下的不同測試結(jié)果。

摘要報告顯示觀察到的水平與定義的 VaR 水平足夠接近。95% 和 99% VaR 水平至多具有期望失敗，其中?N?是觀察次數(shù)。失敗率表明? VaR 水平在范圍內(nèi)，而? VaR 水平不精確并且低估了風險。運行所有支持的測試?(1-VaR_level) x?_N_

95%的VaR通過了測試，如二項式和失敗比例測試（TL、BIN和POF列）。99%的VaR沒有通過這些相同的測試，如拒絕結(jié)果所示。在條件覆蓋率獨立性和間隔時間獨立性（ci和tbfi列）中，兩個置信度都被拒絕。這個結(jié)果表明，VaR的違反不是獨立的，可能在短時間內(nèi)有多次失敗的時期。另外，一次失敗可能會使其他失敗在隨后的日子里更有可能發(fā)生。

在兩個 VaR 置信水平下對三種方法的投資組合運行相同的測試。

結(jié)果和之前的結(jié)果差不多，在95%的水平上，結(jié)果基本可以接受。然而，在 99% 水平的結(jié)果通常是拒絕。關(guān)于獨立性，大多數(shù)測試通過了條件覆蓋獨立性測試，連續(xù)幾天測試獨立性。請注意，所有測試都失敗了獨立性測試之間的時間間隔，它考慮了所有失敗之間的時間。這個結(jié)果表明所有方法都存在獨立性假設(shè)的問題。

為了更好地了解這些結(jié)果如何在市場條件下發(fā)生變化，請查看 2000 年和 2002 年的 95% VaR 置信水平。

2000年，這三種方法都通過了所有的測試。但是，2002 年的測試結(jié)果大多是所有方法都被拒絕。EWMA 方法似乎在 2002 年表現(xiàn)更好，但所有方法都未能通過獨立性測試。

要更深入地了解獨立性測試，請查看條件覆蓋獨立性和失敗間隔時間獨立性2002 年的測試詳細信息。運行各個測試功能。

在 CCI 測試中，知道在時間_t_ -1沒有失敗的情況下，??在時間_t_發(fā)生失敗?的概率?p?由下式給出01

在時間_t_發(fā)生失敗?的概率?p?，知道在時間_t_ -1發(fā)生失敗，?由下式給出11

從?測試結(jié)果中的N00,?N10,??N01,?N11列來看?，??三種方法的_p_?值?01都在 5% 左右，而_p_?值?11都在 20% 以上。因為有證據(jù)表明一個失敗之后出現(xiàn)另一個失敗的頻率遠高于 5%，所以這個 CCI 測試失敗了。

在失敗間隔時間獨立性測試中，查看失敗間隔時間分布的最小值、最大值和四分位數(shù)，在TBFMin、??TBFQ1、??TBFQ2、??TBFQ3、?列中?TBFMax。

對于 95% 的 VaR 水平，您預計失敗之間的平均時間為 20 天，或每 20 天發(fā)生一次失敗。但是，對于這三種方法，2002 年的失敗間隔時間的中位數(shù)介于 5 到 7.5 之間。該結(jié)果表明，在一半的情況下，連續(xù)兩次失敗發(fā)生在 5 到 7 天內(nèi)，比期望的 20 天要頻繁得多。因此，會發(fā)生更多的測試失敗。對于正態(tài)方法，第一個四分位數(shù)是 1，這意味著 25% 的失敗發(fā)生在連續(xù)幾天。

參考

Danielsson, J.?金融風險預測：預測市場風險的理論和實踐。威利財經(jīng)，2012 年。

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本文選自《Matlab正態(tài)分布、歷史模擬法、加權(quán)移動平均線 EWMA估計風險價值VaR和回測標準普爾指數(shù) S&P500時間序列》。

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