小波的秘密1-小波變換概況與綜述
1.有了Fourier,為什么還需要Wavelet?
先來揭揭短:
(1)Fourier分析不能刻畫時間域上信號的局部特性。
(2)Fourier分析對突變和非平穩信號的效果不好,沒有時頻分析。
傅立葉變換將函數投影到正弦波上,將函數分解成了不同頻率的正弦波,這不能不說是一個偉大的發現,但是在大量的應用中,傅立葉變換的局限性卻日趨明顯,事實上在光滑平穩信號的表示中,傅立葉基已經達到了近似最優表示,但是日常生活中的信號卻并不是一直光滑的,而且奇異是平凡的,傅立葉在奇異點的表現就著實讓人不爽,從方波的傅立葉逼近就可以看出來,用了大量不同頻率的三角波去逼近其系數衰減程度相當緩慢,而且會產生Gibbs效應。其內在的原因是其基為全局性基,沒有局部優化能力,以至局部一個小小的擺動也會影響全局的系數。實際應用中很需要時頻局部化,傅立葉顯然缺乏此能力了。即使如此,由于其鮮明的物理意義和快速計算,在很多場合仍然應用廣泛。傅立葉變換在從連續到離散的情形是值得借鑒與學習的,大家都知道,時間周期對應頻域離散,時間離散對應頻域周期,時間離散周期對應頻域離散周期,DFT其實是將離散信號做周期延拓然后做傅立葉變換再截取一個周期,反變換同樣如此,所以DFT用的是塊基的概念,這樣如果信號兩端的信號連接后不再光滑(即使兩邊都光滑),同樣會在邊界上產生大幅值系數(邊界效應),延伸到圖像中就是塊效應。當對信號做對稱周期延拓后再做傅立葉變換得到的正弦系數全部為0,也就是任何對稱函數可以寫成余弦的線性組合,同樣按照離散的思路構造得到的是離散塊余弦基,即DCT變換,雖然DCT可以通過對稱后周期延拓再變換減少了邊界效應(兩邊信號接上了,但不一定平滑),但也不能消除塊效應,尤其是圖像變換中人為將圖像分成8*8處理后塊效應更加明顯。但是DCT很好的能量聚集效應讓人驚奇,加之快速計算方法使它替代DFT成為圖像的壓縮的標準了很長時間(JPEG)。
閑扯了這么多,不要迷糊,開始上圖:
第一個就是傅立葉變換是整個時域,所以沒有局部特征。這是由基函數決定的,同時如果在時域發生突變,那么在頻域就需要大量的正弦波去擬合,這也是傅立葉變換性質決定的。
第二個就是面對非平穩信號,傅立葉變換可以看到由哪些頻率組成,但不知道各成分對應的時刻是什么。也就是沒有時頻分析,看不出來信號頻域隨著時間變換的情況,反過來說就是,一個的頻圖對應好幾個時域圖,不知道是哪個,這個在實際應用中就不方便了,如圖:
如上圖,最上邊的是頻率始終不變的平穩信號。而下邊兩個則是頻率隨著時間改變的非平穩信號,它們同樣包含和最上信號相同頻率的四個成分。做FFT后,我們發現這三個時域上有巨大差異的信號,頻譜(幅值譜)卻非常一致。尤其是下邊兩個非平穩信號,我們從頻譜上無法區分它們,因為它們包含的四個頻率的信號的成分確實是一樣的,只是出現的先后順序不同(時間分辨性太差)。
可見,傅里葉變換處理非平穩信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分,但是對各成分出現的時刻并無所知。因此時域相差很大的兩個信號,可能頻譜圖一樣。
然而平穩信號大多是人為制造出來的,自然界的大量信號幾乎都是非平穩的,所以在比如生物醫學信號分析等領域的論文中,基本看不到單純傅里葉變換這樣naive的方法。
上圖所示的是一個正常人的心電相關電位。對于這樣的非平穩信號,只知道包含哪些頻率成分是不夠的,我們還想知道各個成分出現的時間。知道信號頻率隨時間變化的情況,各個時刻的瞬時頻率及其幅值——時頻聯合分析
2.預備知識:何為基?何為內積?
2.1 基
傅立葉變換和小波變換,都會聽到分解和重構,其中這個就是根本,因為他們的變化都是將信號看成由若干個東西組成的,而且這些東西能夠處理還原成比原來更好的信號。那怎么分解呢?那就需要一個分解的量,也就是常說的基,基的了解可以類比向量,向量空間的一個向量可以分解在x,y方向,同時在各個方向定義單位向量e1、e2,這樣任意一個向量都可以表示為a=xe1+ye2,這個是二維空間的基:
而FT的基是不同頻率的正弦曲線(整個時間),所以FT是把信號波分解成不同頻率的正弦波的疊加和:而對于小波變換就是把一個信號分解成一系列的小波(短時間),也許就會問,小波變換的小波是什么啊,定義中就是告訴我們小波,因為這個小波實在是太多,一個是種類多,還有就是同一種小波還可以尺度變換,但是小波在整個時間范圍的幅度平均值是0,具有有限的持續時間和突變的頻率和振幅,可以是不規則,也可以是不對稱,很明顯正弦波就不是小波,什么的是呢,看下面幾個圖就是:
有了基,有什么用呢?下面看一個傅立葉變換的實例:
對于一個信號的表達式為x=sin(2*pi*t)+0.5*sin(2*pi*5*t); 下面看圖形表示,感受一下頻域變換給人的一目了然:
基具有非冗余性,即使基不是正交的,有相關性,但若去掉其中任何一個,則不成為基,這一點也叫完備性;基的表示有唯一性,即給定一族基對一個函數的表達是唯一的;一般情況下基非正交,也稱為為exact frame(Resize basis),這個時候要表示信號可以將基正交化成唯一的正交基(對偶為其自身);也可以求其對偶框架(dual frame),其對應了小波變換中的雙正交情形!信號可以依框架分解,然后用對偶框架重構。若在基集里添加一些新的向量,并隨意調整空間位置,則有可能成為框架。把函數與基或框架作內積,也可以說成是一種函數空間到系數空間的變換。若某種變換后的能量(內積的平方和度量)仍然有一個大于0的上下界,才可以成為框架,由于框架的冗余性,所以系數的表達也不具有唯一性。若上下界相等,則為緊框架,且界表示冗余度。若上下界相等為且為1,稱為pasval identity frame,此時不一定為正交基,此時若加上基的長度均為一的條件,則框架退化為正交基。可能你會問我們用基來表示信號就行了啊,為什么還要框架呢?其實很多信號表示方法不能構成基,卻能構成框架,如短時傅立葉變換中如要求窗函數滿足基條件,則可推出該函數有很差的時頻局部化性質(事實上退化為了傅立葉變換)
2.2 內積
如果兩個向量的內積為0 ,就說他們是正交的。
如果一個向量序列相互對偶正交,并且長度都為1,那么就說他們是正交歸一化的。
3.小波誕生的前一個晚上:短時傅里葉變換(STFT)
有了缺點當然就想著改進了,這就出來了短時傅立葉變換,也叫加窗傅立葉變換,顧名思義,就是因為傅立葉變換的時域太長了,所以要弄短一點,這樣就有了局部性。
定義:把整個時域過程分解成無數個等長的小過程,每個小過程近似平穩,再傅里葉變換,就知道在哪個時間點上出現了什么頻率了。”這就是短時傅里葉變換。下面就是示意圖
時域上分成一段一段做FFT,不就知道頻率成分隨著時間的變化情況了嗎!
可能理解這一點最好的方式是舉例子。首先,因為我們的變換是對時間和頻率的函數(不像傅立葉變換,僅僅是對頻率的函數),它是二維的(如果加上幅度則是三維)。以下圖所示的非平穩信號為例:
在這個信號中,在不同時刻有四個頻率分量。0-250ms內信號的頻率為100Hz,其余每個250ms的間隔的信號頻率分別為50Hz,25Hz和10Hz。很明顯,這是一個非平穩信號,讓我們看一看它的短時傅立葉變換:用這樣的方法,可以得到一個信號的時頻圖了:
既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四個頻域成分,還能看到出現的時間。兩排峰是對稱的,只用看一排就行。這貌似解決了問題,好像有了加窗技術,整個世界都亮了。沒有那么簡單的,面對一個隨機的非平穩信號,那么這個窗要多大了呢?(此時加窗傅里葉變換一臉的懵逼)
窗太窄,窗內的信號太短,會導致頻率分析不夠精準,頻率分辨率差。
窗太寬,時域上又不夠精細,時間分辨率低。
下面通過一組實驗,我們深入探索這種加窗技術,問題出現在哪里?
上圖對同一個信號(4個頻率成分)采用不同寬度的窗做STFT,結果如右圖。用窄窗,時頻圖在時間軸上分辨率很高,幾個峰基本成矩形,而用寬窗則變成了綿延的矮山。但是頻率軸上,窄窗明顯不如下邊兩個寬窗精確。所以窄窗口時間分辨率高、頻率分辨率低,寬窗口時間分辨率低、頻率分辨率高。對于時變的非穩態信號,高頻適合小窗口,低頻適合大窗口。然而STFT的窗口是固定的,在一次STFT中寬度不會變化,所以STFT還是無法滿足非穩態信號變化的頻率的需求。
4.小波來了
時勢造英雄,小波開始一展拳腳了!
對于加窗傅立葉變換讓人頭疼的就是窗口的大小問題,如果我們讓窗口的大小可以改變,不就完美了嗎?答案是肯定的,小波就是基于這個思路,但是不同的是。STFT是給信號加窗,分段做FFT;而小波變換并沒有采用窗的思想,更沒有做傅里葉變換。小波直接把傅里葉變換的基給換了——將無限長的三角函數基換成了有限長的會衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率,還可以定位到時間了~
就又回到了最開始的基了。
小波變換采用的這些基函數會伸縮、會平移(其實是兩個正交基的分解)。縮得窄,對應高頻;伸得寬,對應低頻。然后這個基函數不斷和信號做相乘。某一個尺度(寬窄)下乘出來的結果,就可以理解成信號所包含的當前尺度對應頻率成分有多少。于是,基函數會在某些尺度下,與信號相乘得到一個很大的值,因為此時二者有一種重合關系。那么我們就知道信號包含該頻率的成分的多少。如前文所述,小波做的改變就在于,將無限長的正弦函數基換成了有限長的會衰減的小波基。效果如下圖:
從公式可以看出,不同于傅里葉變換,變量只有頻率ω,小波變換有兩個變量:尺度a(scale)和平移量 τ(translation)。尺度a控制小波函數的伸縮,平移量 τ控制小波函數的平移。尺度就對應于頻率(反比),平移量 τ就對應于時間。如下圖
當伸縮、平移到這么一種重合情況時,也會相乘得到一個大的值。這時候和傅里葉變換不同的是,這不僅可以知道信號有這樣頻率的成分,而且知道它在時域上存在的具體位置。而當我們在每個尺度下都平移著和信號乘過一遍后,我們就知道信號在每個位置都包含哪些頻率成分。看到了嗎?有了小波,我們從此再也不害怕非穩定信號啦!從此可以做時頻分析啦!
3.1解決了局部性
3.2解決時頻分析
時域信號 FFT變換 小波分析
有了這些,小波分析也就入門了。
感謝大連理工大學機械工程碩士小木匠的出色工作。
感謝杜克大學方圓之中對STFT的現狀所做的科普工作。
您可能也感興趣:
為您推薦
8家險企股權被掛牌轉讓,為何險企股權不再被追捧?
深圳最低工資標準調整為2360元/月 失業保險金為2124元/月
遼寧實施失業保險省級統籌 對缺口核定等作出詳細規定
排行
最近更新
- 蕪湖釋放創新“N次方”效應 數字賦能驅動產業升級
- 去年快遞服務全程時限水平有較大提升 干線運輸時限縮短
- 住建部:推動長江經濟帶高質量發展,打造區域協調發展新樣板
- 江蘇發布重大項目清單 增資擴產項目明顯增多
- 山東抓投資抓項目 新興領域投資規模持續擴大
- Gucci在2月將投放 10 個“SuperGucci”NFT
- 美國銀行:美國CBDC將保持美元作為世界儲備貨幣的地位
- 美股三大指數尾盤集體轉漲
- 光伏發電概念股有哪些?光伏發電概念龍頭股一覽
- The new iPad屏幕對比評測
- 電源接通延時器
- 汽車電子穩定系統(ESP)詳解
- 聯想B520一體機拆解
- 焦炭相關股票有哪些?焦炭概念股票龍頭一覽
- 增強信號 3G無線上網卡改裝拆解全攻略
- 盤點全球五大智能手機生產商 華為聯想入圍
- 三星新平板 Galaxy Note 10.1全拆解
- 智能監控防盜報警系統
- 格力電器未來三年股東回報規劃:每年累計分紅不低于當年凈利潤50%
- 消息稱京東科技計劃2022年在港IPO,募資10億至20億美元
- 恒大集團:呼吁境外債權人不采取任何激進的法律行動
- 海航董事長劉璐因個人原因辭職,在海航已近28年
- 青青稞酒預計2021年營收增長30%-40%,四季度凈虧損超1500萬
- 2022年在港上市募資10億美元?京東科技:不予置評
- 財政部修訂出臺《財政行政處罰聽證實施辦法》
- 賣房子需要交什么稅?賣房子必須攜帶哪些證件?
- 醫保卡的使用范圍有哪些?補牙可以使用醫保報銷嗎?
- 小產權房能過戶嗎?購買小產權房有什么風險?
- 奕東電子的實際控制人是誰?奕東電子股票上市了嗎?
- 百合股份是一家什么公司?百合股份的股票何時上市?