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柯西不等式定理(柯西不等式公式大全)


(資料圖片僅供參考)

1、不同維數的柯西不等式之形式柯西不等式作為常用的重要不等式,有多種形式,其中二維形式與三維形式如下:二維形式:設a,b,c,d為任意實數,那么總成立(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2寫成向量形式就是,對應二維向量x=(x1,x2),y=(y1,y2)總有|x|2|y|2=(x12+x22)(y12+y22)≥(x1y1+x2y2)2,即模平方的積大于積的平方,如果兩邊開平方,幾何意義就是模的積不小于積的絕對值,其中等號成立當且僅當a/b=c/d(對應成比例)或c=d=0;或者說向量線性相關(在一條直線上)三維形式:設a,b,c,d,e,f為任意實數,那么總成立(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)≥(ad+be+cf)2寫成向量形式就是,對應三維向量x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)總有|x|2|y|2=(x12+x22+x32)(y12+y22+y32)≥(x1y1+x2y2+x3y3)2,即模平方的積大于積的平方,如果兩邊開平方,幾何意義就是模的積大于積的絕對值.等號成立當且僅當a/d=b/e=c/f或者c=d=f=0;或者說向量線性相關。

2、當然對于n維向量也有對應的不等式,此外還有積分形式的柯西不等式。

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